Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Правильно: Я надела что попалось по́д руку.
Сочетание на руку всегда пишется раздельно.
Правильно: в назидание всем нечистым на руку.
Имеется в виду слово гантель? Правильно: в каждую руку по гантели.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
