В слове погода выделяется корень погод-, но исторически по- – приставка. Слова с приставкой ку- нам неизвестны.
Мы можем объявить прилагательное частью синтаксически цельного словосочетания, которое замещает позицию именного компонента сказуемого, исходя из того, что без прилагательного грамматический центр оказывается недостаточным в смысловом отношении. Но тогда нам придется доказывать, что это такое же синтаксически цельное с/с, как, например, количественно-именные с/с (три сестры), которые практически всегда являются одним членом предложения. А доказать это не удастся. Поэтому грамматический центр здесь все-таки была погода, солнечная — определение.
Предложение синтаксически некорректно, поэтому и знаки препинания расставить не удастся.
Правильно: факс отправлен ИП Лагоде П. И.
Верно: пожелать хорошей погоды.
Да, это название склоняется: погода в Шувом.
В значении 'олицетворяющая собой неукротимую мощь стихии' прилагательное хтоническая может сочетаться со словом погода.
