Корректен вариант с предлогом НА.
Да, это название склоняется: погода в Шувом.
Запятые расставлены правильно.
Пол- (половина) с последующим родительным падежом существительного пишется слитно, если существительное начинается с согласной буквы (кроме л).
В слове погода выделяется корень погод-, но исторически по- – приставка. Слова с приставкой ку- нам неизвестны.
На наш взгляд, верен второй вариант.
Мы можем объявить прилагательное частью синтаксически цельного словосочетания, которое замещает позицию именного компонента сказуемого, исходя из того, что без прилагательного грамматический центр оказывается недостаточным в смысловом отношении. Но тогда нам придется доказывать, что это такое же синтаксически цельное с/с, как, например, количественно-именные с/с (три сестры), которые практически всегда являются одним членом предложения. А доказать это не удастся. Поэтому грамматический центр здесь все-таки была погода, солнечная — определение.
