Корректно со строчной.
Корректно: взять под контроль.
Правильно: Музей олимпийской славы.
В данном случае запятая не нужна.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Верно слитное написание.
Возможны оба варианта (см., напр.: Левашов Е. А. Географические названия: Словарь-справочник. СПб., 2000). Слово Сочи может употребляться и как существительное мужского рода (влияние родового слова город): олимпийский Сочи, в олимпийском Сочи, и как существительное, имеющее формы только множественного числа: олимпийские Сочи, в олимпийских Сочи.
Вы написали правильно: чемпион Олимпийских игр (но: олимпийский чемпион).
Название партии пишется с большой буквы, кавычки не нужны: Пиратская партия, Пиратская партия России, пираты.