1. Слово чаща стоит в винительном падеже. На это указывает окончание -у (в форме родительного падежа окончание -и: (нет) чащи). Кроме того, предлог сквозь требует формы винительного падежа (см. в словарях: сквозь кого-что). Вопрос задается от глагола: продвигаться (сквозь что?) сквозь чащу. Аргументы учителя неубедительны.

2. Слово ребенок стоит в винительном падеже. Глагол жалеть требует формы винительного падежа (см. в словарях: жалеть кого-что). У одушевленных существительных мужского рода окончания в винительном и родительном падеже совпадают, но для того, чтобы узнать падеж, можно заменить это существительное на существительное женского рода (жалеть девочку), и всё станет ясно.

В разговорной речи имя Алена изредка используют как замену имени Елена. Но в свидетельстве о рождения, паспорте и других документах они указываются как разные имена.

Глагол насыпать со словом суп (в традиционном значении этого слова) не сочетается; суп можно только налить. Сочетание насыпать суп теоретически возможно, если речь идет о сухой смеси, которую необходимо залить кипятком (так называемые быстрые супы).

В орфографии, которой свойственен более этимологичный подход к членению слова на морфемы, в глаголе озарить выделяется корень -зар- (см., например, данные ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря»). Это оправдано историческими связями глагола со словами заря, зарево, зарница, которые еще ощущаются носителями языка. В морфемике в глаголе озарять может выделяться и корень озар-, так как в современном русском языке он уже не имеет словообразовательных связей со словами с корнем -зар- (см., например, «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова).

См. в окне «Искать на Грамоте» глагол ездить. Словари: «Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке» К. С. Горбачевича и «Русское словесное ударение. Словарь нарицательных имён» М. В. Зарвы.

Да, объяснение есть. Валенки пишется через е, потому что исторически связано с причастием валенный, образованным от глагола валить в значении «скатывать, сбивать что-либо из шерсти». В современном русском языке слово валенки является исключением, так как соотносится с глаголом валять, с сочетанием валяные сапоги.

Женские личные имена и фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются. Существуют некоторые исключения из этого правила, например: Любовь, Жизель (героиня балета А. Адана), женские имена библейского происхождения Агарь, Рахиль, Руфь и др. Для некоторых имен допускается вариативное употребление — как склоняемых и как несклоняемых, например: Адель, Нинель. Имя Анель в справочниках личных имен не представлено, по общему правилу склонять его не нужно.