Звучание этих слов несколько отличается: [тэ] и [т'е]. Поэтому правильнее назвать такие слова паронимами.
Верно: картофель фри.
Правильно: карате. Это слово испытывало колебания в написании (что часто происходит с заимствованными словами в процессе их освоения языком), поэтому в словарях встречаются разные варианты. Однако академический «Русский орфографический словарь» фиксирует только написание карате.
Приведите, пожалуйста, пример предложения, в котором это сочетание должно быть употреблено. Попробуем отредактировать.
Правильно: рис «Жасмин», соус «Нью-Йорк», картофель «Айдахо». Однако для последнего наименования очевидна тенденция к переходу имени собственного в нарицательное (по аналогии с картофель фри), поэтому вариант картофель айдахо нельзя считать неверным.
В слове картофелина выделяется корень картофел-.
