Правильно написание строчными буквами.
Запятая не ставится.
Нормативно: институт выпустил 282 специалиста. В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности.
Название института предпочтительно заключить в кавычки и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждению Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждением Российской академии наук «Институт физики твердого тела».
Правильно написание строчными буквами и без кавычек: институты математики и радиофизики.
Названия факультетов и кафедр пишутся строчными. Институт пишется с прописной только как первое слово официального названия.
В строгой деловой письменной речи эта аббревиатура не склоняется. В разговорной речи склонение возможно.