Оба варианта правильные.
Имя Иоанн пишется с двумя Н, которые сохраняются и в отчестве. Правильно: Анна Иоанновна.
Такого правила не существует (во всяком случае, нам оно неведомо). Можно говорить разве что о традиции, которая возникла, вероятно, по двум причинам: во-первых, практически все женские имена в русском языке заканчиваются на -а, -я, то есть это является их отличительным признаком; во-вторых же, добавление гласного к именам, в оригинале оканчивающимся на глухой согласный, удобно в целях благозвучия, легкости произнесения. При этом в современной практике употребления существует множество иностранных женских имен, которые оканчиваются на согласный: Клер, Джун, Эдит, Ирен и т. п.
К японскому имени Карин точно не стоит добавлять -а, дабы оно не совпало с именем Карина, имеющим иное происхождение.
Сочетание в дар существует и обычно употребляется с глаголами передать / принести / преподнести / послать / прислать / принять. Обратимся к примерам: «Алексей Александрович оставил в дар вашему музею картину» [Анна Ткачева. Приворот (1996)]; «Это были руки музыканта, которому достался в дар самый удивительный из инструментов — человеческое тело» [Евгений Водолазкин. Лавр (2012)]. Выражение отдать в дар нечасто, но тоже встречается.
Правильно: Гайд-парк.
