Корректно: 50 лет договору о дружбе. Подробнее см. ответ на вопрос № 261365.
Хотя это выглядит немного странно, но писать название, действительно, оба раза следует с прописной буквы и в кавычках.
Нет, слово кружка не образовано от круг. Происхождение этого слова до конца не установлено, есть две гипотезы: 1) слово заимствовано из польского языка, где kruż 'кувшин' восходит к германским языкам; 2) слово заимствовано непосредственно из германских языков; при этом весьма вероятно, что истоичник заимствования русского слова был иной, чем источник заимствования польского kruż. Вероятно, это средневерхненемецкое krus 'кружка', 'сосуд для питья', хотя не исключено заимствование из французского языка.
Правильно: Иван Иванов из сельхозпредприятия «Дружба».
Надпись представлена как подлинное выражение, включённое в текст, поэтому её точно нужно заключить в кавычки. Другой вопрос, требуется ли перед ней двоеточие. В примечании к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя приводятся, с одной стороны, примеры типа Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана, с другой — примеры типа Мимо станции проносились скорые поезда с табличками на вагонах: «Москва — Владивосток». Там же отмечено, что двоеточие ставится, если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п. Но, судя по всему, дело в другом: в примерах с двоеточием подлинное выражение, включённое в текст, завершает собой предложение, в примерах без двоеточия — находится в середине предложения. Таким образом, корректно будет такое оформление: На столе стояла кружка с надписью: «Маме», но Кружку с надписью «Маме» кто-то убрал со стола.
По основному правилу вместо тире должно стоять двоеточие: Да, злись, дружок: я люблю злых. Но возможен и вариант с тире. В этом случае запятая после дружок нужна.
Часть предложения после запятой надо править, по-русски не говорят дружба оказалась под испытанием. Можно сказать, что дружба подверглась серьезному испытанию.
Правильно: ул. Дружбы Народов.
