Лучше: ученицы 2 класса.
Как правило, название пишется без кавычек, но уставом образовательной организации может быть предусмотрено и написание в кавычках. Т. е. нужно читать устав.
Предлог здесь лишний. Верно: параллельны друг другу.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Предлоги из – с являются антонимами предлогов в – на, например: поставить книгу в шкаф – взять книгу из шкафа, положить книгу на полку – взять книгу с полки. Поэтому, раз мы говорим иду в школу, то верно: звоню из школы.
Использовать предлог со в данном случае ошибка.
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Правильно: забирать из школы.
"Обоюдные" и "друг к другу" - дублирующие единицы. Выберите что-то одно.