Оба варианта правильны.
В современном русском языке эти слова однокоренными не являются. Однако этимологически они могут быть родственными: есть гипотеза (разделяемая, впрочем, не всеми лингвистами), что говно восходит к той же праславянской основе govedo 'крупный рогатый скот', что и говядина, и первоначально говно означало 'коровий помет'.
Это несклоняемая аббревиатура, мн. ч.
Вы корректно процитировали словарные рекомендации.
Словари фиксируют слово мойка как имеющее формы мн. числа во всех значениях. Однако Ваши сомнения обоснованны: употребление слова мойка в значении мытье во мн. числе уместно не во всех контекстах.
Запятая ставится.
Громко кивнуть вряд ли получится, но можно что-то говорить и при этом кивнуть головой.
Рекомендуем писать в кавычках.
