Здесь возможны оба варианта — с двоеточием и без. В примечании к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя говорится: «Подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, выделяются кавычками, но двоеточие перед ними не ставится» (в качестве примера приводится несколько предложений, в частности Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана) — и там же указывается, что «если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п., то перед ними ставится двоеточие» (например, Над воротами возвысилась вывеска, изображающая дородного амура с опрокинутым факелом в руке, с подписью: «Здесь продаются и обиваются гробы простые и крашеные…»).

Если прямая речь выполняет функцию какого-либо члена предложения, двоеточие перед ней не ставится: Сначала это значило «Кого назвала — тот и захотел» (здесь прямая речь, представляющая собой «перевод» реально сказанных слов, замещает позицию дополнения). Глаголы и глагольные словосочетания, обозначающие движения и выражения лица (к ним относятся и тянуть руки, и глаза светились), могут использоваться в качестве слов, вводящих прямую речь: Но через пару занятий студенты уже сами начали тянуть руки, глаза светились: «Я хочу!»

Сочетания со словом как не являются приложениями. Приложения — это согласованные определения, выраженные именем существительным (нераспространенное приложение) или именем существительным с зависимыми словами (распространенное приложение). Обороты со словом как выполняют в предложении роль обстоятельства или являются частью сказуемого. Пунктуация в этом случае подчиняется правилам, о которых Вы пишете (оборот обособляется, если имеет значение причинности, и не обособляется при значении 'в качестве'), но речь идет не о приложениях.

Это корректный прием проверки. Слово наконец-то действительно не используется в качестве вводного, и в контекстах, в которых возможна замена наконец на наконец-то, слово наконец также не вводное.

Выражение по крайней мере употреблено в предложении в качестве вводного, обособление требуется: Коллеги, даже после его прочтения вам всё равно будет сложно работать при поступлении большого количества клиентов, но, по крайней мере, вы будете знать, какие проблемы вам предстоит решать в ближайшие часы.

Можем предположить, что авторы «Правил» использовали предлог на, поскольку правила регулируют поведение не только внутри транспортных средств (в этом случае нужно было использовать предлог в), но и на связанных с транспортом объектах: остановках, переходах и т. п.

Оба варианта корректны, однако они выражают разные оттенки смысла.

Словосочетания тавтологичны, но при этом сравнительно часто используются в профессиональной речи в качестве точных и удобных обозначений части тела и предмета, предназначенного для этой части тела. Обратимся к примерам: нагрузка на суставы и поясничный пояс; упражнения, разогревающие поясничный пояс и стопы; укрепить плечевой и поясничный пояс; носить поясничный пояс, зафиксировать с помощью ортопедического поясничного пояса, согревающий пояс для поясницы.

В предложении Думай как педагог сравнительный оборот понимается прежде всего как обстоятельство образа действия («Думай по-педагогически»), в этом случае он не обособляется.

Запятая не нужна. Для таких случаев есть отдельное правило: деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется).