Знаки препинания расставлены правильно.

Да, парные тире вместо запятых для выделения приложения использовать можно. Тире придают этому приложению особую значимость.

«Большой универсальный словарь русского языка» допускает все предложенные варианты: о мхе и о мо́хе, в (на) мхе и в (на) мо́хе, во (на) мху.

Необходимость постановки тире зависит от того, как прочитывается сочетание 13 июля. Если подразумевается форма именительного падежа, то оно играет роль подлежащего. Соответственно, сочетание день рождения будет выполнять функцию сказуемого, а между подлежащим и сказуемым-существительным ставится тире: День рождения Андрея — тринадцатое июля. Если подразумевается форма родительного падежа, то сочетание играет роль обстоятельства времени, что не предполагает постановки знаков препинания: День рождения Андрея тринадцатого июля. При этом может быть использовано интонационное тире для указания места распадения простого предложения на словесные группы: День рождения Андрея — тринадцатого июля.

Примеры, аналогичные приведенному, отсутствуют в справочниках по пунктуации. Можно рекомендовать вариант: «Вот до какой степени... — Матушка-настоятельница постучала по столу. — ...они жаждут новой жизни».

Между вопросом и ответом в составе текста тире не нужно: Как работала я? Включаешь весёлую песню, придумываешь под неё движения... Первая часть высказывания может произноситься без ярко выраженной вопросительной интонации, в этом случае уместно написание с точкой: Как работала я. Включаешь весёлую песню, придумываешь под неё движения...

Корректно: ...можно работать, и быть полезным, и быть успешным.

Тире отделяет формы представления, в данном случае инфинитивы, которые употребляются для обозначения предмета мысли, того, на чем сосредоточивается внимание. Эти формы обычно предшествуют основному предложению (сравним: Но быть привязанной к человеку, быть ему верным другом и помощником — так природой назначено собаке), однако, как в Вашем случае, могут находиться и после основного предложения.

Правильно: что необычного. В подобных предложениях после вопросительного слова что следует существительное (толк, прок), качественное прилагательное (новый, интересный) или местоименное слово такой в форме родительного падежа. В синтаксисе такие предложения относят к предложениям т. н. фразеологизированной структуры, то есть предложениям, строение которых не может быть объяснено современными синтаксическими правилами.

Знаки, поставленные по «школьным» правилам пунктуации, могут влиять на смысл предложения, сравним, например, пары: Я сделал это, так как мне приказали. — Я сделал это так, как мне приказали; Статья может быть напечатана. — Статья, может быть, напечатана.