Прописные буквы не требуются: олимпийское движение; российское олимпийское движение.
Написание зависит от контекста.
См. ответ на вопрос № 319215.
В толковых словарях при слове путь ‘рельсовая колея’ значится указание «часто мн.», поэтому допустимы оба варианта.
С точки зрения русского языка глагол течь многозначен, поэтому нет ничего странного в таких его значениях, как "перемещать, нести свои воды (о реке, ручье и т. п.)" и "перемещаться по специально оборудованным коммуникациям (о жидкостях, паре, газе и т. д.). Слышно, как вода течёт по трубам. Газ течёт по трубопроводу. Электричество течёт по проводам". Кстати, существительное ток также образвано от глагола течь.
Да, правильно.
Оба варианта верны.
Падежную форму (в этом случае — родительного падежа) определяем по существительному, с которым количественное числительное согласуется.
Запятая не нужна. Нет оснований для ее постановки.
