Правильно: писатель О. Генри.
О. — это не сокращение имени писателя, в данном случае О. Генри целиком является псевдонимом (настоящие имя и фамилия — Уильям Сидни Портер), который пишется с точкой и пробелом в соответствии с написанием в языке-источнике О. Henry.
См. рекомендации Почты России.
Да, запятая нужна: здесь начинается деепричастный оборот.
Правильно: 2-серийный фильм.
Да, можно.
В корне приведенных Вами слов происходит чередование им/я. Об этом чередовании как об орфографическом явлении можно прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Верно: помощь в сдаче.
Правильно: директора Дзюбы Андрея Ивановича, действующего. Правила см. в Письмовнике.
Правильно с кавычками: поисковая система "Яндекс".
Склонение мужской фамилии Бейкель обязательно, женская фамилия не склоняется.
