Невозможно игнорировать тот факт, что у слова онкология в современном русском языке появилось новое значение — 'онкологическое заболевание', пусть оно и воспринимается пока как примета разговорной речи. Это значение действительно не зафиксировано пока в нормативных словарях русского языка. Но из этого совершенно не следует, что такое употребление слова онкология ошибочно. Скорее стоит признать, что словари, как это часто бывает, запаздывают с фиксацией нового значения слова.

В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова слово заключительный определяется как произведенное от основы инфинитива заключи- (этот инфинитив — вершина гнезда) при помощи суффикса -тельн- (М., 1985. Т. 1. С. 356). Что касается корня, то его выделение будет зависеть от того, какой принцип положен в основу морфемного анализа. Если опираться на тот же словарь Тихонова, где последовательно реализуется идея производности морфемного членения от словообразовательных отношений, то корень — заключ-. Если следовать принципу независимости морфемного членения от словообразовательных отношений, воплощенному, например, в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Ф. Ефремовой, то в качестве корня выделяется сегмент -ключ- (М., 1986. С. 153).

Такого требования к однородным инфинитивам, входящим в составное глагольное сказуемое, нет. При этом наличие общего зависимого слова при глаголах с разным управлением является ошибкой.

Заключать слово обедаешь в кавычки неуместно, поскольку говорящий «подсказывает» адресату смысл, но не форму глагола (ведь тот должен поставить глагол в форму первого лица). Что касается знака препинания в указанной позиции, то часть вернее будет сказать произносится в убыстренном темпе и не несет в себе оттенка предупреждения (нет логического ударения на глаголе сказать), она близка по функции к вводному предложению. Соответственно, здесь уместна запятая или тире: Думаю, вернее будет сказать, обедаешь; Думаю, вернее будет сказать — обедаешь.

В инфинитве уплыть и в форме прошедшего времени уплыл один и тот же корень — -плы-.

Слово (существительное) включает корень, суффикс и окончание: нача-л-о. Суффикс тот же, что и в словах мери́ло, пу́гало. Исторический корень — -ча- (ср. зачать, непочатый).

Корректно: Закончив с одним делом, он взял в рот сигарету — и в тот миг, когда хотел зажечь спичку, внезапно упал лицом вниз и умер. Знак препинания перед союзом и не требуется, но предлагаем поставить тире для подчеркивания значения внезапности.

Запятая поставлена верно, союз и здесь присоединительный (= «притом»).

Это тот случай, когда между авторами морфемных и словообразовательных словарей нет разногласий: в слове молоток корень молот-. Семантическая связь слов молот и молоток очевидна, словообразовательные отношения ясны.

Вы правильно расставили знаки препинания в предложении.