Написание с двумя прописными буквами Червонная Королева появилось под влиянием английского источника (Queen of Hearts). О проблемах написания приведенных Вами типов названий подробно рассказано в статье «Прописные и строчные буквы в собственных именах людей, прозвищах, псевдонимах, кличках: из академических правил русской орфографии» Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой.

В прямой речи персонажа вполне могут заключаться в кавычки слова, сказанные иронически. Вообще о выделении кавычками слов в особом значении можно прочитать в параграфе 58.1 Справочника Д. Э. Розенталя и в параграфе 151 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Эти написания не регулируются правилами, они словарные. Но в «Русском орфографическом словаре» есть только слово стартап. Не следует думать, что правила в орфографии существуют на все случаи жизни, тем более это касается новейших заимствований. Пока что вполне возможны и слитное, и дефисное написания: сетап, попап и сет-ап, поп-ап. 

В этом предложении особый случай: прямая речь находится внутри слов автора. Поскольку перед союзом так как необходима запятая, то только она и ставится после цитаты, необходимости в тире здесь нет. См. пункт 1 параграфа 136 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

В этом предложении деепричастный оборот однороден обстоятельству, выраженному предложно-падежной формой через систему. В таких случаях запятая перед ним не ставится (см. пункт 3 параграфа 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Справку можно запросить через систему онлайн-запросов или обратившись к нашему представителю.

Если перед подчинительным союзом или союзным словом есть частица не, то запятая между главной и придаточной частью не ставится (см. пункт б) параграфа 115 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Я хотел узнать не что он сделал, а что он начудил.

Вы не указали год выхода книги, но это может быть или старая книга, или репринтное издание, воспроизводящее старое написание. Дело в том, что до утверждения в 1956 году «Правил русской орфографии и пунктуации» такие наречия, как по-видимому, по-прежнему, могли писаться слитно. Современная орфографическая норма требует только дефисного написания.

В этом случае употреблена конструкция с местоименным словом как и частицей ни — часть уступительного придаточного предложения (см. пункт 2б параграфа 78 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): ...тут уж как бы ты ни пел дифирамбы собственному творению, его судьба уже предрешена.