Современная орфографическая норма — дубнинский. Однако в прошлом слово испытывало колебания в написании: бытовали варианты дубненский, дубнинский, дубенский. При этом вариант дубненский использовался чаще других. В начале 2000-х годов Совет депутатов Дубны обратился в Институт русского языка им. В. В. Виноградова с просьбой разъяснить ситуацию с орфографическими разночтениями и получил ответ, где было сказано, что выбор написания «должен решаться с учетом традиции и практики речевого употребления». На основании этой рекомендации депутаты постановили, что в официальных городских документах и названиях следует использовать традиционное написание дубненский. Поэтому в Дубне есть Дубненская городская больница, Дубненский городской суд, Дубненский машиностроительный завод и т. п.

Точный ответ на Ваш вопрос содержится в академической «Русской грамматике» (см. § 984): «Морф -жды выступает после гласных в наречиях, где основа мотивирующего слова выступает с наращением за счет финали, совпадающей с флексией им. п. числ.: дважды, трижды, четырежды».

Поскольку финаль, совпадающая с флексией (т. е. окончанием) именительного падежа, перед суффиксом — это то, что очень сложно объяснить в рамках школьной программы, любой школьный разбор этого слова по составу обречен быть неточным, и уже не так важно, как будет выделено это а — как часть корня, как отдельный суффикс или как окончание.

Оба варианта не подходят. От глагола судить ''предназначить' образуется причастие суждённый (можно использовать вариант сУжденный: в поэтической речи возможен перенос ударения, если того требует строй стиха).

Правильно: пользователь (чего?) сервиса (но: пользоваться чем? сервисом).

Правильно: увеличить время пребывания на сайте. Слов, приведенных в первых двух вариантах, не существует.

Правильно: Лига чемпионов.

Правильно: Здесь ты сможешь увидеть то, чего никогда ещё не видел.

Правильно: остров Родос.

В этом предложении ошибки нет.

Антонимами являются слова в целом, а не их формы. Глаголы в Ваших примерах — это антонимы.