Вне документов возможно (и уместно) написание с использованием строчных букв.
Правильно писать со строчной, но при воспроизведении дореволюционных текстов в составе официального титулования словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендует писать с большой буквы: Наследник Цесаревич.
Правильно: строчнАя буква.
Название должности премьер-министр пишется с прописной буквы в текстах официальных документов, например: Премьер-министр Соединенного Королевства. При неофициальном употреблении следует писать слово премьер-министр со строчной. Например, только со строчной можно писать премьер-министр России, т. к. официальное название этой должности в нашей стране – Председатель Правительства Российской Федерации.
Правильно: строчная буква.
Правильно: Московская городская дума.
Правильно со строчной.
Этот вопрос не связан с русской орфографией, поэтому однозначно ответить затрудняемся.
