Да, строгая литературная норма предполагает склонение названий такого типа: из Гаджиева, к Гаджиеву, с Гаджиевом, в Гаджиеве.
Корректно употреблять это название в несклоняемой форме.
Корректно: петров крест.
Название поселка склоняется, например: из Сельца, в Сельце. Но в сочетании с родовым словом название лучше не склонять: в поселке Сельцо.
Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины».
Сказуемое согласуется с тем словом, которое употребляется перед кавычками: ГП направило... Ср.: кинотеатр «Победа» открылся.
