Да, деепричастие летя существует, о чем свидетельствует большое количество примеров его употребления.
См. правила употребления буквы ё: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/upotreblenie-bukvy-e-v-tekstakh-raznogo-naznacheniya
Ваш коллега прав. Дело не во времени, а в употреблении деепричастного оборота.
Правильно: насчет них. Предлог насчет требует употребления форм местоименных слов с начальной Н.
Кофе – существительное мужского рода (в образцовой литературной речи) и среднего (в разговорном употреблении).
Предложение составлено некорректно. Глагол наследовать требует употребления винительного падежа: наследовать что-то от кого-то.
Да, требуется склонение, в том числе и при употреблении названия в функции приложения.
Этот оборот носит разговорный характер, без контекста трудно говорить о допустимости его употребления.
Устойчивого употребления нет. Допустимо: пою под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Кавычки нужны. Они обусловлены употреблением сочетания апельсиновая корка не в своем обычном значении.
