Название заведения нужно писать в соответствии с учредительными документами. А так как слово кофе?культ словарями не зафиксировано и подпадает под разные орфографические правила, то возможны и разные варианты написания. Связано это с тем, что часть кофе допускает несколько трактовок: 1) как часть с соединительной гласной е, 2) как первый компонент в сочетании существительного с приложением, 3) как сокращение слова кофейный. Возможность неоднозначной трактовки приводит к возможности применения разных правил.

Сложные существительные, содержащие соединительную гласную на стыке частей, пишутся слитно, например: паровоз, бактерионоситель, птицеферма, вишнеслива, волколис, религиоведение, музееведение. Этому правилу подчиняются слова кофеварка, кофемашина, кофемолка, кофезаменитель. 

Сложные существительные и сочетания с однословным приложением, если в их состав входят самостоятельно употребляющиеся существительные и обе части или только вторая часть склоняются, пишутся через дефис, например: альфа-частица, баба-яга, бас-гитара, бизнес-тур, гольф-клуб, шоу-бизнес, а также кофе-пресс, кофе-автомат, кофе-брейк, кофе-пауза, кофе-порошок, кофе-суррогат.

Сложносокращенные слова пишутся слитно, напр.: главбух, госзаказ, детсад,  домработница, жилплощадь, завскладом, канцтовары, спорткафе. Ср.: кофейная машина – кофемашина.

Новым словам приходится встраиваться в эту систему орфографических закономерностей. По первому и третьему правилу можно написать кофекульт, по второму – кофе-культ. А ведь еще культ может стать собственным названием кофе (кофе «Культ») или видом кофе (кофе культ).

В отделе корпусной лингвистики и лингвистической поэтики Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН нам ответили следующее. 

«Русская грамматика» 1980 г. была фундаментальным изданием, которое охватывает все уровни структуры русского языка, включая фонетику (что не характерно для обычных грамматик). С тех пор инструменты изучения языка изменились – появились корпусные и компьютерные методы в связи с разработкой корпусов, в том числе – Национального корпуса русского языка. Поэтому естественно, что следующие поколения грамматик будут корпусными. Первый опыт такой грамматики на материале НКРЯ осуществлен группой исследователей ИРЯ РАН, МГУ, ИЛИ РАН (СПб), СПбГУ, ВГУ и др. институтов и университетов. Результаты исследований размещены на сайте http://rusgram.ru/. К сожалению, сейчас доступна только старая версия сайта (новая дорабатывается). Там размещены результаты корпусных исследований по основным разделам грамматики русского языка. Те, кто предпочитает получать информацию из печатных изданий, могут обратиться к трехтомнику:

Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск I. Глагол. 2016.

Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск II. Синтаксические конструкции и грамматические категории. 2017.

Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск III. Части речи и лексико-грамматические классы. 2018.

Однако в трехтомнике опубликованы не все материалы, размещенные на сайте, так что к сайту все-таки тоже имеет смысл обращаться.

До орфографической реформы 1917–1918 годов слово могло, по давно установившейся традиции, оканчиваться или гласной буквой, или твердым знаком (он назывался «ер»), или мягким знаком (он назывался «ерь»). Много столетий назад буквы «ер» и «ерь» тоже обозначали особые (очень короткие) гласные звуки, но эти звуки давно исчезли из нашего языка.

Происхождение традиции писать «ер» и «ерь» на конце слов можно объяснить следующим образом. При письме без пробелов между словами «ер» и «ерь» показывали границу слова, т. е., даже перестав обозначать гласные звуки, эти буквы выполняли очень важную функцию — указывать на конец слова. Привычка видеть эти буквы в конце слова оказалась так сильна, что они остались и после того, как стало обычным разделять слова пробелами.

Осколок этой традиции сохранился и в современном русском языке — в виде написания ь на конце слов после шипящих: мышь, ночь, рожь, стричь. Никаких разумных причин писать ь в этой позиции нет, такое написание просто дань традиции (его тоже предполагали отменить реформой 1917–1918 годов и оставили в самый последний момент).

Да, загадочное выражение. Можно предложить такое объяснение: возможно, под «московской киской» здесь имеется в виду изнеженный, слабый, избалованный столичной жизнью человек (что-то наподобие «кисейной барышни») – в противовес сибиряку, который должен быть крепким, сильным, пышущим здоровьем. Но это лишь наше предположение, внутренняя форма выражения может быть и иной.

А вот комментарий В. И. Беликова, доктора филологических наук, ведущего научного сотрудника Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, научного консультанта проекта «Языки русских городов», к которому мы обратились за советом:
«Поговорки-сравнения обычно очень живучи. Если бы массово употреблялось 50 лет назад в Иркутской области, совсем пропасть не могло. Блогосфера сейчас довольно развита повсеместно, но словосочетания как московская киска или как московская кошка вообще нигде не встречаются.
Это, конечно, не исключает, что выражение все еще живет. Может, по всей Иркутской области, может, условно говоря, в Братске. Может быть, еще где-то: в Барнауле, Тамбове, Одессе... Но в любом случае оно мало распространено». Не исключено, полагает В. И. Беликов, что так могли говорить в очень узком кругу: в пределах одной или нескольких семей, одной или нескольких дворовых компаний.

Мы рекомендуем Вам задать этот вопрос на иркутском форуме: возможно, среди его посетителей найдутся люди, слышавшие этот выражение. Если Вам удастся что-нибудь разузнать, пожалуйста, напишите нам.

Мы знаем, что в последних изданиях «Справочника по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя вариант в Украине зафиксирован как нормативный. Вы не первый, кто нам об этом пишет. Но представляется, что это позиция не самого Розенталя, а редакторов, переиздававших справочник уже после смерти Дитмара Эльяшевича и внесших свои дополнения (справочник датирован 2003 годом, а Д. Э. Розенталь ушел из жизни в 1994-м).

Проблема в том, что многие склонны политизировать этот сугубо языковой вопрос. Приходится вновь и вновь повторять: дело здесь вовсе не в политике (никто, разумеется, не оспаривает суверенитета Украины), а в специфике литературной нормы. Она складывается столетиями и, как мы неоднократно писали в наших ответах, не может измениться в один миг, даже вследствие каких-либо политических процессов. Для того чтобы новый вариант занял место старого, необходимы десятилетия, а иногда и те же столетия. Вот хороший пример: вариант дОговор  еще полвека назад фиксировался словарями как допустимый в разговорной речи – но за это время так и не смог стать в языковом сознании «легитимным», он до сих пор воспринимается многими носителями языка как пример безграмотности. Литературная норма постоянно находится в динамике (она неизменна только в мертвом языке), но в то же время все изменения в ней происходят постепенно. В одночасье «выключить» один орфоэпический, лексический, грамматический вариант и «включить» другой нельзя.

С синтаксической точки зрения во всех случаях перед нами конструкция с придаточным что захочешь / что хочешь. Утверждение об идиоматичности выражения всё(,) что хочешь может быть подвергнуто сомнению. Стоит, правда, обратить внимание на то, что в вопросах, заданных Справочной службе, фигурируют разные глаголы: хотеть и захотеть. Первый из них, несовершенного вида, обладает гораздо большей употребительностью, чем второй. Поэтому всё(,) что хочешь было бы легче признать идиомой, чем всё(,) что захочешь, — если бы не одно препятствие. Дело в том, что в этих выражениях идиоматичности ровно ноль: их смысл полностью соответствует смыслу компонентов, из которых они состоят. И в этом их существенное отличие от всё что угодно / что душе угодно / что душа пожелает: используя эти выражения, говорящий не думает ни о какой душе и даже ни о какой-либо угодности кого-л. / чего-л. кому бы то ни было. Поэтому выражения этой серии можно признать идиомами, а выражения с глаголами хотеть / захотеть — нет. Вывод: запятая в примерах, фигурирующих в вопросах, нужна.

Внятный критерий, который следует учитывать, решая вопрос о постановке/непостановке запятой в выражениях такого типа, — наличие идиоматичности. Только она может отменить запятую в сложноподчиненной конструкции. А наличие идиоматичности выявляется путем проверки на композициональность семантики. Если смысл выражения равен сумме смыслов его компонентов, то его семантика композициональна, идиоматичности нет. Если же семантика некомпозициональна, то можно говорить об идиоматичности.

На наш взгляд, каждый пункт лучше оформить как самостоятельное предложение. 

Рекомендации, которые даны в справочнике Д. Э. Розенталя, не являются строгими. Таким образом, верно: первое и второе место, первое и второе места, между первым и вторым местом.

Если Ваше желание писать аббревиатуру ЧОП строчными так велико, мы вряд ли сможем Вам это запретить. Нельзя говорить, что правила имеют верховенство над словарями или что словари имеют верховенство над правилами. Нормальная ситуация – это когда правила регламентируют общие принципы правописания, а словари уточняют написание конкретных слов (понятно, что в своде правил правописания невозможно перечислить все возможные написания и все частные исключения).

Сейчас в русском языке сложилась такая ситуация: официально действующие правила правописания были утверждены в 1956 году и в ряде пунктов явно устарели, не соответствуют практике письма и не регламентируют написание отдельных категорий слов. Написание в таких случаях проверяется по орфографическому словарю. Нам кажется очевидным, что в данном вопросе (ЧОП или чоп?) следует ориентироваться не на общую рекомендацию «Правил» (изданных в 1956 году, когда никаких ЧОПов не было и в помине), а на предписание современного орфографического словаря, в котором есть данная словарная статья.

Написание ЧОП фиксирует электронная версия «Русского орфографического словаря», опубликованная на нашем портале (она полнее издания 2004 года, т. к. в нее регулярно вносились исправления и дополнения по материалам В. В. Лопатина, ответственного редактора словаря). Кроме этого, такое написание фискирует печатный словарь – Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.