Правилен второй вариант.
Верно: в районном центре (в городе) Богучаре.
Лучше: в образовательном органе.
Если вводное слово стоит в начале обособленного оборота – запятые ставятся перед вводным словом и после всего обособленного оборота. После вводного слова запятая не ставится. Поэтому верно: Похожее оружие, правда "самопальное", применяют боевики в Сирии.
Обособление не требуется.
Это название не склоняется: живу в Катовице.
Верно: действующего.
Для обозначения веков обычно используются римские цифры: в XIII веке. При написании арабскими цифрами нужно наращение: в 13-м веке, в 13-м.
Правильно раздельное написание.
При подлежащих, указывающих на неопределенное множество, глагол, как правило, ставится в форму ед. числа. Ср.: В МГУ работает свыше пяти тысяч преподавателей.
