Предлагаем почитать о частях речи в учебнике Е. И. Литневской.

Знаки препинания расставлены верно.

Это сложноподчиненное предложение с изъяснительным придаточным вопросительной разновидности. Всё дело именно в последнем: изъяснительные придаточные вопросительной разновидности присоединяются к главной части посредством как раз того слова, которое делает их вопросительными: Где твой дневник? — Мама спросила, где мой дневник. Вопросительное местоимение при этом превращается в относительное, то есть в союзное слово.

Но вопросительность в случае так называемого общего вопроса может создаваться не вопросительным местоимением, а частицей: Не сходить ли мне на работу? — Я задумался, не сходить ли мне на работу. Частица берет на себя функцию средства связи, хотя, конечно, ни в союз, ни в союзное слово она не превращается.

А в случае альтернативного вопроса вопросительность создается той же частицей, но «спрятавшейся» в разделительном союзе или: Сходить мне на работу или остаться дома? — Я размышлял, сходить мне на работу или остаться дома. Таким образом, как это ни парадоксально, в СПП с изъяснительным придаточным, которое восходит к альтернативному вопросу, роль средства связи берет на себя сочинительный (!) союз или.

Да, такая инверсия вполне возможна в разговорной речи. 

У слова гора было значение ‘верх’. Отсюда наречие горе́ ‘вверх’, слова горний ‘находящийся в вышине’, горница ‘комната в верхнем этаже’. Тем самым идти в гору значит ‘двигаться вверх’. Переносное значение выражения лезть в гору ‘добиваться благополучия, служебного продвижения’ фиксируется в XVIII веке. Более позднее распространение фразеологизма идти в гору В. В. Виноградов связывал с проникновением его в разговорную речь из карточного жаргона. Подробнее см. в статье Виноградова.

Всё верно, запятая не требуется: На стажировке становится понятнее, с какими вопросами люди приходят и как эти вопросы решаются.

Запятая перед как не нужна.

Кавычки нужны, запятая не требуется. Корректно: «Великий поход» – так леди Амалия называла это.