Согласно академическому «Русскому орфографическому словарю», пепси  — тоже существительное женского рода. Но можно понять, почему в речи возникает согласование по мужскому роду. Влияет внешний фонетический облик: пепси похоже на те несклоняемые существительные, которые под влиянием родового слова напиток могут согласовываться по мужскому роду.

Ударение на дверИ корректно. Ударение в локативах действительно падает на последний слог, но в некоторых случаях формы местного падежа не соответствуют современной литературной норме (считаются просторечными), например: в дубу, в дому. Поэтому, если возникают сомнения, в каждом конкретном случае лучше свериться со словарем.

Ответить на Ваш вопрос мы попросили проф. М. Я. Дымарского.

Да, они образуют словосочетание. Обособление этому не мешает: оно не разрушает грамматических связей между определяемым существительным и определением; более того, если бы этих связей не было, то и обособленных оборотов не возникало бы.

Написание слова одиссея со строчной буквы в значении 'странствие с приключениями' закреплено орфографическими словарями однозначно, то же в толковых словарях (см., например, ресурс «Проверка слова»). Правилами орфографии написание названий произведений, ставших нарицательными, не регламентируется. Чтобы сформулировать правило (если в нем возникает потребность), необходимо изучать материал.

Нужно исходить из авторского замысла. Т. е. если автор написал раздельно, то он имел в виду одно, а если слитно, то другое. Это адекватное отношение к авторскому тексту, здесь, как нам кажется, проблем быть не должно.

Трудности возникают, только если такие конструкции становятся материалом для диктанта, контрольной.  

В неопределенно-личных предложениях деепричастие всегда должно относиться к подразумеваемому неопределенному деятелю, например: Играя в гольф, обычно пользуются несколькими различными клюшками. Если это правило нарушается, возникает ошибка: *Окончив институт, выпускников направили на работу в московские школы  (закончили институт выпускники, а не те, кто направил их в московские школы). 
 

В данном случае следовало бы употребить существительное возгорание, образованное от глагола возгореться "загореться, воспламениться". Иначе неизбежно возникает путаница с существительным, образованным от глагола загорать: К обеду с пруда возвращается внук, истомленный долгим загоранием и купанием [Александр Титов. Путники в ночи // «Волга», 2008]. 

Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Такие предложения обычно читаются с паузой, которая отмечается знаком тире: Много новых товаров и никакой рекламы — с приложением нашего маркетплейса (без тире возникает сочетание реклама с приложением, что едва ли входит в замысел автора). 

На нашем портале документы цитируются дословно - по крайней мере, мы к этому стремимся. Обратите внимание, что Свод правил правописания датируется 1956 годом, а Орфографический словарь пополняется по сей день. Если при проверке орфографии возникают сомнения, нужно отдавать предпочтение более "свежему" источнику, в данном случае - Орфографическому словарю.

Синонимические отношения между определениями могут возникнуть в контексте, сравним примеры, приводимые в пункте 4 параграфа 10.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: с чудесной, почти волшебной лёгкостью; сплошная, беспросветная тьма и т. д. В Вашем случае между определениями усматриваются также градационные отношения (см. пункт 6 того же параграфа).