Если ответить коротко, то это предложный падеж, а если более подробно и точно, то это так называемый местный падеж (локатив) – одно из подзначений предложного падежа. См. ответы на вопросы № 263338 и 264234.
Ударение надает на второй слог: грехОм.
Как балерина — сравнение (как можно заменить союзом словно и нельзя заменить предлогом в качестве), запятая нужна.
Правильно: действующего.
Указанная запятая не требуется.
Грамматически верно: просим вашего разрешения на закрытие магазина. Но если есть возможность уйти от безжизненного канцелярского языка, лучше это сделать: просим вас разрешить закрыть магазин.
Нет, слитное написание ошибочно.
Возможны оба приведенные Вами варианта.
Запятая после слова например нужна. Если вводное слово находится в начале оборота, заключенного в скобки, то оно отделяется запятой. См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. М., 2003. Параграф 25 («Вводные слова и словосочетания»), пункт 4, примечание 2.
Запятая не требуется.