Это грамотное выражение, ошибки нет.
Можно.
Общеупотребительно: внутрь. Вариант вовнутрь разговорный (это слово пишется слитно).
Корректно: несколько фич (как несколько встреч).
Дело в том, что притяжательное прилагательное ее не изменяется по падежам, следовательно, оно не может "управляться" каким-либо падежом.
Такое сочетание корректно.
Правильно: кадет и кадетов в знач. 'воспитанник кадетского корпуса', но только кадетов в знач. 'член конституционно-демократической партии'.
Кавычки не требуются. Основанием для кавычек может служить разве что ироническое употребление выражения.
Запятая не ставится.
Сочетание будет построено некорректно в обоих случаях, вне зависимости от того, будете ли Вы склонять название станции. Возможные варианты: купить квартиру у метро "Бибирево", рядом с метро "Бибирево".
