Слово день корректно писать строчными. Обратите внимание: названия городов склоняются в сочетании со словом город: города Троицка. Предложение нуждается в редактировании, сейчас получается: благодарим... за помощь... и в связи... Может, поздравляем с днем...  и благодарим за помощь?

Это сочетание наречия и прилагательного: ответственный (как? в каком аспекте?) социально. Его по-прежнему нужно писать без дефиса: социально ответственный. Сравним аналогичные сочетания, включенные в орфографический словарь: социально чуждый, социально опасный, социально активный, социально значимый и т. п.

Запятая в данном случае факультативна. Ее отсутствие будет означать, что прилагательное глухой употреблено здесь в значении 'густо, сплошь заросший', тогда как постановка запятой укажет на однородность определений глухой и загадочный (темный, непроницаемый, отчего кажется загадочным).

При обращении к одному лицу в личной переписке Вы пишется с большой буквы. См. материал «Как писать ВЫ и ВАШ — с прописной или со строчной буквы?» в разделе «Письмовник» на нашем портале.

Разделительный мягкий знак пишется, если нужно показать, что следующая за ним гласная буква обозначает два звука – [й] и соответствующий гласный. В слове литёха звук [й] поле [т'] не произносится, поэтому ь писать не нужно (ср.: актёр, лифтёр, детёныш).   

Слово не зафиксировано в орфографическом словаре. Рекомендуем писать слешер. Это слово имеет тот же источник, что и закрепленное словарем слеш. Написание с е системно, оно не препятствует возможности фонетического освоения слова, то есть смягчению согласного [л] перед [э]. 

Можно писать «вручили орден семье погибшего героя». Глагол вручить имеет значение "совершить передачу чего-л. непосредственно, лично кому-л. из рук в руки" и употребляется в случаях, когда подчёркивается либо акт передачи, либо важность передаваемого предмета. 

Слова типа край, город, река и т. д., даже если обозначают в каком-либо контексте конкретный объект (а в контексте обычно приводится и его полное название), не становятся от этого именами собственными. Нет оснований писать их с прописной буквы.

Слово котел уже в Малом академическом словаре 1982  г. зафиксировано в значении 'полное окружение (больших групп войск)'. Поэтому кавычки не нужны. По правилу о написании прилагательных с суффиксом -ск- первое слово следует писать со строчной буквы: дебальцевский котел.