Возможны оба варианта написания. С прописной буквы это слово пишется в тех контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл. Ср: малая родина и отдать жизнь за Родину.

В литературе встречается и другое написание: гуммиэластик, гумиластик, гумеластик.

В конструкции при чём здесь / тут... правильно раздельное написание: при чём здесь я? при чём тут это? Слитно пишется союз причём: Она решила всё выяснить, причём здесь и сейчас.

Дело не в том, от каких существительных образованы такие прилагательные, а в том, какую роль они играют в тексте. Выделение слов в тексте с помощью прописной буквы используется для противопоставления собственных и нарицательных имен: нарицательные имена пишутся со строчной буквы, собственные – с прописной. Ср., напр.: лев – Лев, невские берега – Александр Невский, красная шапочка – Красная Шапочка (сказочный персонаж), здоровье – журнал «Здоровье».

Овраг – префиксальное производное от вьрагъ > враг (ср. название переулка в Москве – Сивцев Вражек), суффиксального производного от вьрьти «бить ключом, бурлить». Исходно – «поток», затем – «рытвина от таких вод и дождей».

Правило то же самое. С прописной буквы могут писаться некоторые нарицательные существительные в контекстах, где им приписывается особый высокий смысл: Родина, Отечество, Отчизна, Свобода, Добро, Честь, Человек, Учитель, Мастер и т. п.

Решила — модальная связка составного глагольного сказуемого, а было решено отправить — сложное трехчленное сказуемое, где было — формальная связка, решено — модальный компонент. В школе это тоже считается оставным глагольным сказуемым.

В этом случае распространенное определение произошедшее с ней образует единое сочетание с определительным местоимением всё (ударение падает на определение) и не обособляется: Таня решила посмотреть на всё произошедшее с ней глазами обычного стороннего наблюдателя.

Слово памятник управляет дательным падежом: памятник В. И. Ленину. Но если слово памятник само стоит в дательном падеже, то вместо второго дательного употребляется родительный падеж: пропуск к памятнику (дат. п.) В. И. Ленина. См. «Словарь трудностей».