По современным правилам русской пунктуации здесь нужно поставить тире, а не запятую — см. параграф 85 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Не соответствующие нынешним правилам знаки в текстах прошлых веков (а цитируемое стихотворение написано в середине XIX века) можно объяснить тем, что правила могут меняться. 

Даже употребление творительного падежа не делает фразу грамматически безупречной. Увы, если в русском языке два глагола управляют разными падежами, то грамотно построить фразу можно, лишь прибегнув к повтору управляемого слова или к использованию местоимения. Но если вопрос ставится именно таким образом - какой падеж использовать, не перестраивая фразу, - то предпочтение следует отдать творительному падежу. 

Если существительное не имеет формы ед. ч., то у нас нет формальных (школьных) методов для определения рода (хотя в "Грамматическом словаре русского языка" А. А. Зализняка род указан и для таких слов). Если существительное употреблено в форме мн. ч., но при этом его можно поставить в форму ед. ч., тогда никаких проблем с определением рода быть не должно.

Запятая не нужна, нет оснований для ее постановки. Правильно: Просьба подписать договор и 1 экземпляр отправить по адресу... С несогласованными определениями, выраженными инфинитивом, связано (в других синтаксических конструкциях) такое правило: они отделяются посредством тире, если перед неопределенной формой глагола можно без ущерба для смысла поставить слова а именно. Ср.: У меня к вам единственная просьба – подписать договор.

1. Причастие с не может писаться как слитно, так и раздельно. Раздельное написание подчеркивает отрицание (перед причастием с не мысленно можно подставить слово вовсе). 2. По правилам тире после мы не ставится. Но в авторском тексте можно поставить интонационные тире (если после мы делается пауза).

Стихотворный отрывок написан без ошибок, только не хватает точек после предложений.

Если текст в скобках не отделен от абзаца, то точку обычно ставят после скобки: ...и я его очень любила (по тексту "Дневника" Юлии Петровой).

Но, поскольку в Вашем случае источник цитаты указывается на следующей строке (как, например, в эпиграфе), рекомендуем поставить точку после цитаты, а после скобок не ставить:

...и я его очень любила.

(по тексту "Дневника" Юлии Петровой)

В первых двух предложениях вместо тире и запятой следует поставить двоеточие: Я не сомневалась, что мне приснятся пораженные чумой города: когда я чем-то долго занималась, сны становились продолжением дневных занятий. Хорошо, что я защищен: не очень приятно ловить такие подарочки.

В третьем предложении запятая нужна: Нельзя утверждать, что уроки оказались бесполезными, – из них я вынес первые знания об анатомии.

Рекомендуем поставить тире: Историк Лев Лурье — о грядущем переезде СПбГУ в Гатчину.

Тире ставится в неполных предложениях, состоящих из двух компонентов со значением субъекта, объекта, обстоятельства (в разных сочетаниях) и построенных по схемам: «кто — кому», «кто — где», «что — кому», «что — куда», «что — как», «что — где», «что — за что» и др. Такие предложения распространены в газетных заголовках.

Наречие, образованное от прилагательного универсальный с помощью приставки по- и суффикса -ому, не фиксируется ни словарями, ни Национальным корпусом русского языка. Но если бы оно образовалось (например, для каких-то стилистических целей), то его нужно было бы писать так же, как по-доброму. Более вероятно употребление сочетания по универсальному, где по – предлог, относящийся к существительному, например: построить по универсальному проекту.