С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.
Правильно: что я только ни делал, ничего не получалось; что я только не делал! Как я ни старался, я не смог сделать это; я не могу это сделать, как бы мне этого ни хотелось. Правила см. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Корректно: Но, как бы впоследствии ни разрешилась эта научная дискуссия, свидетельство исторических источников о братьях Кирилле и Мефодии как о создателях славянской письменности и книжной культуры остаётся неизменным.
Правильно двойное "не".
Возможно как слитное, так и раздельное написание в зависимости от контекста.
Да, не пишется раздельно, т. к. есть противопоставление.
Предпочтительно: не мучьтесь, допустимо: не мучайтесь.
Корректно: ни пройти ни проехать (в значении «не пройти и не проехать»).
Если речь идет об одежде, лучше: не стесняет движений.
