В таких конструкциях существительное может употребляться как в единственном, так и во множественном числе. Форма ед. ч. указывает на внутреннюю связь определяемых предметов. Форма мн. ч. подчеркивает наличие нескольких разобщенных предметов. В итоге - выбор за Вами.

Возможны оба варианта. По основному правилу тире между подлежащим, выраженным личным местоимением, и сказуемым, выраженным существительным в именительном падеже, не ставится. Оно допускается, если необходимо отразить интонационное разделение предложения, наличие двух акцентов – на подлежащем и на сказуемом.

Наличие предлога в случае перед отглагольным существительным является признаком того, что не с образует с этим существительным единое слово: в случае неперечисления (см. пункт 3 параграфа 148 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).

Словом грусть можно проверить только наличие в прилагательном грустный непроизносимого согласного, но нельзя определить, глухой ли это согласный [т] или звонкий [д]. При этом падежные формы существительного (грусти, грустью и т. п.) вполне могут быть проверочными словами. 

Оба варианта верны. Наличие вариантов связано с тем, что у слова хутор два значения: 1) обособленный земельный участок с усадьбой владельца (жить на хуторе)  и 2) в южных областях: крестьянский поселок, селение (в хуторе, ср. в поселке, в селении).

Слово початый  зафиксировано в словарях русского языка как разговорное в значении 'начатый, уже употребленный, вскрытый', возможно раздельное написание НЕ с этим словом именно в этом значении. Однако в устойчивом выражении непочатый край правильно слитное написание (несмотря на наличие зависимого слова еще).

В приведенном Вами примере правильно написание с одной н. Отглагольное прилагательное струганый пишется с одной н, наличие приставки не- не влияет на написание. С двумя н пишется причастие струганный: струганные мастером доски (здесь струганные – причастие, т. к. есть зависимое слово).

Корректно: Обе стороны предпочли не раскрывать свои замыслы; Все стороны предпочли не раскрывать свои замыслы. Что касается падежа существительного замыслы, то в этом случае действительно возможен как винительный, так и родительный падеж. Винительный будет указывать на наличие каких-то определенных замыслов.

Наличие обособленного определения между подлежащим и сказуемым не отменяет необходимость или возможность постановки тире. В приведенном же примере имеется слово это, что предполагает  обязательную постановку этого знака: Шрам, оставшийся у него на плече, — это единственное напоминание о той ночи!