В предложении 4, бесспорно, допущена ошибка, так как действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом) должно относиться к подлежащему данного предложения. Ср. деепричастный оборот в других предложениях:
1) Заблудившись в лесу, мы возвратились домой поздно. (Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает причину другого действия.)
2) Выйдя из-за облаков, луна осветила все вокруг. Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает предшествующее действие.
В предложениях 3) и 5) приаточные предложения следует заменить не деепричастным, а причастным оборотом:
3) Рожь, золотящаяся на солнце, была похожа на безбрежное море.
5) Уже распустившиеся ландыши издавали тонкий, нежный аромат весны.
Вот что об этом сказано в параграфе 162 справочника "Правила русской орфографии и пунктуации" под ред. В. В. Лопатина.
Если в предложении употребляется несколько тире, то необходимо учитывать функцию каждого из знаков.
1. Тире может повторяться только в равнозначной позиции:
а) при усилении значения каждого из перечисляющихся членов: Памятник свободе — неволе — стихии — судьбе и конечной победе гения: Пушкину, восставшему из цепей (Цвет.);
б) при параллелизме строения частей сложного предложения: Но в радости моей — всегда тоска, в тоске всегда — таинственная сладость! (Бун.)
2. Нежелательно (даже при авторском употреблении) повторение знака тире, когда знаки ставятся на разном основании: — А это — грот, — поясняет Володя, глядя себе под ноги, — тоже наш грот, здесь все наше, — хочешь, полезем! (Цвет.) — здесь первое тире стоит между подлежащим и сказуемым, второе и третье — выделяют авторские слова, четвертое — в бессоюзном сложном предложении в составе прямой речи.
Верно: в 1/2 (одной второй) доле, из 3/5 (трех пятых) долей.
О правильности написания можно рассуждать с точки зрения правил 1956 года (т. е. можно утверждать, что сегодня раздельное написание по чему в предложенном контексте правильным не является). При этом логические основания для написания сочетания по чему другому с пробелом, несомненно, есть: в указанном сочетании по чему другому имеет значение ("по иной причине"), отличное от наречия почему ("по какой причине").
Слитное написание посему отвечает современным нормам правописания.
Слитно пишется наречие вначале, его обычно можно заменить на «сначала», «сперва», «в первое время», ср.: вначале (= в первое время) работа шла трудно; вначале (=сперва) скажи, а потом — бей. Пишется раздельно сочетание предлога в и существительного начало, которое управляет другим существительным: в начале (чего?) года, рассказа; в начале начал. Раздельное написание в сочетании в начале было Слово нужно запомнить.
Слово темп по-прежнему произносится [тэ]мп. Мягкое произношение согласного т неправильно. Что касается слова диета, то написание его через э было нормативным еще в первой половине XX века: в Толковом словаре русского языка под ред. Д. Н. Ушакова (1935–1940) дано: диэта и диета. Правилами русской орфографии и пунктуации 1956 года установлено написание диета в качестве единственно правильного (видимо, где-то старые вывески висели еще несколько десятилетий).
Единой точки зрения нет. Одни языковеды считают причастие формой глагола, другие – особой частью речи, имеющей признаки как глагола, так и прилагательного. Но в двухтомной академической «Русской грамматике» 1980 года, обобщившей все достижения отечественной грамматической теории, причастие названо формой глагола. Видимо, лучшим (и самым честным) ответом на экзамене будет именно такой: это дискуссионный вопрос в отечественной лингвистике, но академическая «Русская грамматика» называет причастие глагольной формой.
Запятая нужна. Здесь действует правило о знаках препинания в сложноподчиненном предложении. Подробнее эта ситуация описана в справочниках Д. Э. Розенталя:
В составе сложноподчиненного предложения может быть неполное предложение — в главной части или придаточной:
1) неполное в главной части: Вот уже два года, как мы женаты...;
2) неполное или близкое к неполному в придаточной части: ...Делайте всё, что нужно; Поставьте, как вам удобно; Сообщите, кому следует...
В статье, на которую Вы ссылаетесь, этот факт объяснен: "В декабре 1906 года Распутин подает прошение на высочайшее имя об изменении своей фамилии на Распутин-Новых, ссылаясь на то, что многие его односельчане носят ту же фамилию, из-за чего могут быть недоразумения. Прошение было удовлетворено (Варламов А. Н. [tululu.org/read14005/ Григорий Распутин-Новый]. — М.: Молодая гвардия, 2007. — 851 с. — (ЖЗЛ). — ISBN 978-5-235-02956-9).
