Правильно: под мышкой (наречие: нести под мышкой, держать под мышкой), но: подмышкой (форма творительного падежа сущ. подмышка).
Да, склоняется.
Правильно с тире: страна – член МОТ.
Наречие, образованное от прилагательного универсальный с помощью приставки по- и суффикса -ому, не фиксируется ни словарями, ни Национальным корпусом русского языка. Но если бы оно образовалось (например, для каких-то стилистических целей), то его нужно было бы писать так же, как по-доброму. Более вероятно употребление сочетания по универсальному, где по – предлог, относящийся к существительному, например: построить по универсальному проекту.
Корректно употребление формы мн.ч.
Сами по себе эти слова не требуют обособления. Но пунктуация зависит от строя конкретного предложения.
Корректно: (требуется) специалист для реализации проекта, специалист на проект.
