Правильно: в мэрии города Москвы. Географическое название, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и др., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.

Оба варианта корректны и означают одно и то же: человек, награжденный орденом Мужества два раза. Разница между ними заключается в стилистической окраске: первый вариант (дважды кавалер ордена Мужества) может быть использован в официально-деловом стиле, а второй (кавалер двух орденов Мужества) звучит более разговорно и неформально.

1. Корректно без запятых: внутримышечно два раза в день в течение 2–3 дней, применяют внутримышечно двукратно с интервалом десять дней между инъекциями.

2. Обособление оборота а в дальнейшем и передних возможно, если автор оценивает ее как присоединительную, т. е. вводящую дополнительную информацию, конструкцию.

Нет, здесь три раза вместо частицы ни ошибочно употреблена частица не. Корректно: Но как бы там, в этом «восточном дворике», Сирию ни консолидировали, «Турецкий поток» ни реанимировали, турецкие пляжи русскими красавицами ни устилали, зарплаты российским учителям и прочим бюджетникам от этого жирнее не станут.

С термином река склоняются простые русские, славянские и освоенные названия: на реке Волге, на реке Висле (но: на реке Иртыш – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают). Не склоняются названия озер: на озере Виктория, на озере Титикака.

Современная орфографическая норма: естественно-научный. См. также ответ на вопрос № 274082.

Верно дефисное написание.

Названия автовокзалов пишутся аналогично названиям железнодорожных вокзалов (как правило, без кавычек при согласованном определении, стоящем перед словом "автовокзал": Такой-то автовокзал).