Правильно: Удмуртская Республика. Формулировка правила верна: республика в данном случае – это государство в составе Российской Федерации. Пункт 1 статьи 5 Конституции России гласит: «Российская Федерация состоит из республик, краев, областей, городов федерального значения, автономной области, автономных округов – равноправных субъектов Российской Федерации»; пункт 2 этой же статьи начинается словами: «Республика (государство) имеет свою конституцию и законодательство».

Опечатка исправлена. Спасибо за замечание!

В строгой деловой речи как раз и принято формальное согласование, по мужскому роду, т. к. в официальной документации на первое место выдвигается информация о должности (безотносительно к полу лица): в лице генерального директора Ивановой, действующего на основании... (обратите внимание: название должности генеральный директор пишется строчными).

Форма сыплются правильная. См.здесь.

Сегодня нормативно: Первая мировая война, Вторая мировая война.

Уместнее поставить точку: Я открыла финансовый отчёт за последний год. Прогнозы были неутешительные. Этот случай отличается от приводимых в справочниках примеров типа Я выглянул из кибитки: всё было мрак и вихорь или Вскинул голову — у порога стоит Мария тем, что во второй части говорится не о том, что непосредственно воспринял субъект, а об осмыслении того, что он воспринял (прочитал данные, содержавшиеся в отчете, и сделал вывод о том, что прогнозы неутешительные). Сравним: Я открыла финансовый отчёт за последний год: в нем не оказалось первых двух страниц.

Прилагательные с частью средне- пишутся слитно. Однако узкоспециальные термины, которые не отмечаются в словарях общего типа, иногда оказываются исключениями из правил. В интернете (в том числе на сайтах, где размещаются научные статьи) слишком мало упоминаний языка, который Вас интересует, чтобы можно было судить о его написании. Для ответа на Ваш вопрос мы обратились к специалистам по африканским языкам. Они (посовещавшись) ответили, что слитное написание в соответствии с рекомендацией академического орфографического словаря (среднеюжный банда) более приемлемо.

Мы благодарим за помощь Марию Борисовну Коношенко, старшего научного сотрудника Института языкознания РАН, и ее коллег, принявших участие в обсуждении.

Выбор предлога зависит от того, в каком значении использовано это наименование. Если Гибралтар — территория, то правильно на Гибралтаре (От Рима до Майами с остановками в Марокко, на Гибралтаре, Канарских островах, Кубе и Доминиканской Республике. [Мария Киселева. Королевские забавы. Граф переплыл Атлантику на мотоцикле (2002) // «Известия», 24.06.2002]); если же Гибралтар — Гибралтарский пролив, то правильно в Гибралтаре (Здесь же, в Гибралтаре, была написана еще одна, на этот раз уже «лихая» матросская песенка «Моряк, покрепче вяжи узлы» [Александр Городницкий. «И жить еще надежде» (2001)]). 

Ответ на Ваш вопрос сложно дать в рамках «Справочного бюро». О принципах составления орфоэпических словарей можно прочитать отдельную лекцию. Если говорить, например, о критериях включения в словарь нового варианта, то вот какие называет Мария Леонидовна Каленчук, заместитель директора Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, один из авторов «Большого орфоэпического словаря русского языка» (М., 2012). Во-первых,  вариант должен быть принят в речи образованных людей. Во-вторых, вариант должен быть широко распространен. И в-третьих — и это, возможно, самое главное, — вариант должен соответствовать внутренним законам языка и быть освящен культурно-исторической традицией.

Рекомендуем Вам обратиться к работам К. С. Горбачевича, посвященным литературной норме и ее динамике.