Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Подобные ситуации, к сожалению, не описаны в правилах. Здесь конфликтует два правила — об обособлении определения, относящегося к личному местоимению (такие определения обособляются), и о необособлении приложений с союзом как со значением тождества, приравнивания. Мы рекомендуем запятые ставить, так как определение при личном местоимении всегда приобретает дополнительное обстоятельственное значение, что является еще одним условием обособления. 

Приведем словарную статью из Малого академического словаря: «ПШЮТ, -а, м. Разг. устар. Хлыщ, фат. Десять минут ожидания Татьяне Ивановне показались вечностью, особенно когда в ее уголок заглянули два ранних петербургских пшюта. Мамин-Сибиряк, Не мама. Выбритый, раздушенный, с закрученными кверху усами, лейтенант имел фатовый вид. Макаров поморщился, — он не переносил фатов и пшютов. Степанов, Порт-Артур».

Здесь два существительных: кинотеатр и Таллин. Имя собственное Таллин является условным наименованием кинотеатра, поэтому оно заключается в кавычки: кинотеатр «Таллин». Если говорить о синтаксической роли, то «Таллин» — приложение (определение, выраженное именем существительным) к слову кинотеатр. Разумеется, название вполне может употребляться и самостоятельно: сегодня в «Таллине» интересный фильм показывают.

Литературной норме соответствуют два варианта: дабы и дабы. Они не равноправны: дабы – предпочтительный вариант, дабы – допустимый. Словарь М. В. Зарвы «Русское словесное ударение», электронной версией которого можно пользоваться на нашем портале, – это словарь для работников СМИ. Поэтому в нем представлен всегда один вариант ударения, рекомендованный для эфира. Разумеется, словарь выбирает предпочтительный вариант, т. е. дабы.

Возможны два варианта: 1. Слово 13-го является уточняющим обстоятельством по отношению к обстоятельству в пятницу: В пятницу, 13-го, всё возможно. 2. Слово 13-го является несогласованным определением по отношению к существительному пятница (пятница 13-го выступает как особое понятие): В пятницу 13-го всё возможно. Заметим, что в обоих случаях числительное должно стоять в форме родительного падежа.

Даже употребление творительного падежа не делает фразу грамматически безупречной. Увы, если в русском языке два глагола управляют разными падежами, то грамотно построить фразу можно, лишь прибегнув к повтору управляемого слова или к использованию местоимения. Но если вопрос ставится именно таким образом - какой падеж использовать, не перестраивая фразу, - то предпочтение следует отдать творительному падежу. 

Здесь есть два момента. Во-первых, орфоэпический словарь отражает не только ударение, но и произношение слова (например, бутЕрброд или бутЭрброд). Во-вторых, не во всех языках подвижное и свободное ударение (как в русском), в некоторых оно фиксированное, поэтому надобность в словаре ударений отпадает. Словари образцового произношения и ударения (орфоэпические) и вообще словари правильной речи существуют не только для русского языка.

Вопрос спорный. Говорить о правильности употребления здесь предлога сложно хотя бы потому, что само название ресурса оформлено с нарушением орфографических законов: по правилам русского правописания две прописные буквы подряд в начале слова не пишутся (исключение составляют только аббревиатуры). Лучше избегать сочетания предлога в и названия ресурса и добавлять родовое слово: в социальной сети «ВКонтакте», на сайте «ВКонтакте».