Сочетание некорректно.
Правильно: Город воинской славы.
Сочетание будний день корректно, тавтологией не является. Будний – не праздничный, не выходной.
Да, это сочетание обособляется как вводное.
Правильно со строчной буквы, т. к. это сочетание не является «официальным» названием исторического события (ср.: Февральская революция 1917 года).
Сочетание корректно.
Дело в том, что сочетание советская эпоха не является официальным названием исторического периода, поэтому оно пишется со строчной, в отличие, например, от наименований Средние века, Возрождение, Петровская эпоха и др., принятых историками и давно употребляющихся в русском языке.
Неясно, что означает сочетание "5 карата".
Сочетание корректно. Возможные синонимы: вызывать недоумение/беспокойство, подлежать сомнению.
Сочетание корректно.
