Корректно первое слово с прописной: Стадион юных пионеров.
Запятая после слова например нужна. Если вводное слово находится в начале оборота, заключенного в скобки, то оно отделяется запятой. См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. М., 2003. Параграф 25 («Вводные слова и словосочетания»), пункт 4, примечание 2.
Плеоназма нет. С точки зрения пунктуации два тире в предложении - это нехорошо.
Обе формы возможны.
Корректно: Выполнение работ по (чему?) обследованию и (чему?) диагностике. Это форма дательного падежа единственного числа существительного женского рода первого склонения. Диагностика, девочка — (кому/чему) диагностике, девочке.
Правильно: предложена кандидатура Иванова И. И., направляем Иванова И. И.
Корректно: Женщина-кошка.
Правильно: регламентирующем.
Синдром — это совокупность признаков, сочетание симптомов, верен вариант больной с синдромом.
Предложение построено корректно.