Правильно: ехать с базы отдыха. Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с — предлогу на (на базу — с базы).
В словарях нет специальных помет, указывающих на особое образование формы слова кавер (в статье катер такая помета есть). Следовательно, верно: каверы.
Спасибо, но мы ничего не запрашивали.
Правильно: дождаться автобуса, дождаться маму. Различается падежное управление глагола дождаться с одушевленными и неодушевленными существительными.
Да, по-русски тоже следует писать Костанай, именно такой вариант фиксируют сейчас словари собственных имен.
Правильно: рады встрече.
Запятые нужны. Деепричастный оборот, в начале которого стоят частицы только, лишь, интонационно не отделяется от предшествующей части предложения (при чтении пауза перед ним не делается), но запятая перед ним обычно ставится.
Правильно: предынспекционный. Здесь важно, что приставка пред- не иноязычная.
Корректно: позволит клиентам оставаться с вами.
