Вы задаете непростой вопрос. Действительно, со слова например начинается пояснительный оборот. Вводные слова, стоящие в начале обособленного оборота, от самого оборота запятой не отделяются, чтобы читателю было понятно, что вводное слово относится именно к обороту, а не к предшествующему тексту. Но в Вашем примере сам оборот графически оформлен как самостоятельное предложение (такое явление называется парцелляцией). Подобные ситуации в справочниках по пунктуации не описаны. При этом указано, что, выделяя оборот скобками (т. е. более сильным знаком), запятую после вводного слова ставить нужно (например, как здесь). Полагаем, что после точки, как и после скобки, обособление вводного слова предпочтительно. 

За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.

Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».

Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.

По общему правилу от имен, оканчивающихся на -й, отчества образуются посредством присоединения суффикса -евич, -евна. Конечная й опускается: Сергей – Сергеевич, Николай – Николаевич, Дмитрий – Дмитриевич. Но от значительной группы русских имен, оканчивающихся на -ий, отчества могут быть образованы как по общему правилу, так и с заменой -ий на ь. Орфографически правильно: Геннадиевич и Геннадьевич, Иннокентиевич и Иннокентьевич, Виталиевич и Витальевич, Евгениевич и Евгеньевич и т. д. (важно при этом, чтобы в документах одного человека последовательно использовался какой-то один из вариантов). Имя Юрий в этом смысле исключение: от него образуется только отчество Юрьевич (хотя от имени Юлий – Юлиевич и Юльевич).

Разница не в печатной и рукописной формах, а в школьных требованиях и «взрослой» норме. В школе сформировалась методическая традиция – ставить точки в заголовках (например, учат ставить точки в заголовках: Тринадцатое апреля. Классная работа. Диктант). Это делается, чтобы не мешать закреплению у детей стереотипа: в конце предложения надо ставить точку. Отсутствие точки часто считают за ошибку. Окончив школу, человек должен писать «по-взрослому» – без точек в конце заголовка. Однако выработанный в школе стереотип оказывается столь силен, что при записи текста Тотального диктанта даже после предупреждения, что точку после заголовка ставить не нужно, ее все равно ставят очень многие. При проверке Тотального диктанта эту ошибку прощают.

Верно: Беловежская Пуща. Противоречия с правилами нет, т. к. мы не можем сказать, что слово пуща употребляется только как родовое наименование, не передавая дополнительных смыслов: все же Беловежская Пуща – это не просто название некоего леса (основное значение слова пуща – обширный густой лес), а наименование природного заповедника, территории, обладающей особым историческим и культурным статусом.

Отметим, что орфографические словари предназначены именно для того, чтобы фиксировать частные орфографические случаи (в отличие от свода правил правописания, описывающего общие закономерности письма), регламентировать написание конкретных слов и словосочетаний. Фиксация в орфографическом словаре означает, что данное написание является нормативным и в дальнейшем обращении к правилам правописания уже нет необходимости.

Слово библиотекарист не зафиксировано нормативными словарями современного русского литературного языка и не встречается вне контекста наименования недавно переведенного на русский язык романа Патрика де Витта. Можем предполжить, что такое наименование было выбрано затем, чтобы не возникало путаницы с романом Михаила Елизарова "Библиотекарь" (2012). При этом стоит отметить, что существительное библиотекарист отнюдь не противоречит тенденциям в развитии языка: суффикс -ист под ударением при добавлении к основе существительного образует существительное со значением «тот, кто связан с указанной в основе деятельностью, профессией, орудием или материалом труда» ◆ футбол → футболист, футболистка ◆ трактор → тракторист, трактористка ◆ филателия → филателист, филателистка и т. п.

Корректно: 1) Рыба фугу сама по себе опасный продукт; 2) Носить обувь на босу ногу; 3) Чтение; 4) Алло — междометие: Алло, это Мария Петровна? и Алло! Это Мария Петровна? 5) Никто из вас мне не указ. Подлежащее — никто, сказуемое — не указ; ? 6) Его мозг работает как часы; 7) Глагол вырвать, безл., в значении "стошнить" (Ребенка вырвало) носит разговорный характер; 8) Название и наименование — синонимы. Чтобы узнать их конкретные значения, воспользуйтесь словарями, размещенными на нашем портале; 9) Ни забот и ни хлопот.  

Пожалуйста, не втискивайте несколько разных вопросов в одно письмо. 

Фактически в русском языке имеются глаголы-варианты мучить (глагол второго спряжения) и мучать (глагол первого спряжения). Однако ради унификации орфографии (т. е. чтобы написание было единообразным) глагол мучать в некотором смысле приносят в жертву: признаются допустимыми только те его формы, которые отличаются фонетически от соответствующих форм глагола мучить, а именно — формы настоящего времени. Таким образом, предпочтительно (в строгой литературной речи): мучить, мучу, мучишь, мучит и допустимо мучаю, мучаешь, мучает (эти формы отличаются по звучанию от форм глагола мучить). А вот в прошедшем времени — только мучил; вариант мучал не допускается (т. к. по звучанию он почти не отличается от мучил).