Нет. Правильно раздельное написание во всех случаях.

В русском литературном языке у глагола плыть есть значение "ехать на корабле, лодке и т. п.". Например: плыть на корабле, плыть в лодке, плыть на веслах. Поэтому словосочетание плыть на байдарке, поплывем на байдарке совершенно правильно, полностью отвечает литературной норме современного русского языка.
Но необходимо сказать вот о чем. Люди одной профессии или одного круга общения нередко вырабатывают своего рода "язык в языке", т. е. жаргон. Жаргон - это разновидность речи какой-либо группы людей, объединенных единой профессией или занятием, своего рода знак принадлежности к определенному кругу общения. И значения слов, лексическая сочетаемость слов внутри жаргона может существенно отличаться от литературного языка. Так, профессиональные кондитеры возмущаются, когда слышат словосочетание печь торт, они говорят собирать торт. Водитель трамвая не произнесет трамвай идет в депо, а скажет вагон идет в депо. Точно так же в речи участников водного похода устойчивым словосочетанием является пойти на байдарке, а плыть на байдарке ими однозначно воспринимается как ошибка.
Кстати, наш программист - любитель походов по горным рекам - полностью согласился со сделавшими Вам замечание туристами.

Если внутри слов, заключенных в кавычки, встречаются другие слова, заключенные в кавычки, то в этом случае предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: "лапки" (внутренние) и «елочки» (внешние). Но если по техническим причинам невозможен набор кавычек другого рисунка, то кавычки одного и того же рисунка рядом не повторяются.

Действительно, правилами русской орфографии закреплена факультативность (необязательность) употребления буквы Ё. Ее предпочтительно писать в случаях, когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём - узнаем; когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма, а также в cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п. В остальных случаях букву Ё писать необязательно. Но это не значит, что ее употребление неграмотно: по желанию автора любой текст может быть написан с последовательным употреблением буквы Ё (т. е. с написанием этой буквы везде, где она должна быть).

Пунктуация корректна.

Да: и. о. начальника (первое слово с большой буквы, если это начало предложения).

Да, правильно: во избежание падения.
Что касается второго вопроса, то вот Вам встречный вопрос: почему на троллейбусных и трамвайных остановках написана большая буква А? :-)

Да, кавычки лучше поставить.

1. Вероятнее всего может быть также предикативом. Однако в данном случае это вводное слово: Тем не менее студенты должны иметь представление о том, в какое время, вероятнее всего, жил каждый из пророков. 2. Предложение корректно.

Правильно: ехать, едешь, когда вы поедете. Форма поеди/те тоже существует, но она от глагола есть (принимать пищу).