Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются как существительные м. р. второго склонения: Мовчана, Мовчану и т. д.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются (кроме фамилий на -ых типа Черных, Золотых), женские – нет. Подробнее см. в «Письмовнике».
Склонять нужно только мужскую фамилию Мешкой. Рекомендации см. здесь: Особенности склонения фамилий и личных имен.
Обе фамилии нужно склонять.
Официального написания не существует. Правилами орфографии рекомендуется употреблять букву ё в собственных именах, в том числе в фамилиях.
Мужская фамилия Дух склоняется (Духа, Духу и т. д.), женская – нет.
Это поговорка.
Предложение можно было бы построить более понятно. Но в целом предложение составлено корректно, требуется запятая перед или, поскольку союзы ли... или в сложносочиненном предложении относятся к повторяющимся.