Правильно прописными: ВХУТЕМАС. Да, такое написание можно счесть данью традиции.
Написание Великая французская революция отвечает правилу: в названиях исторических эпох и событий, календарных периодов и праздников с прописной буквы пишется первое слово.
В названиях архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы тоже пишется только первое слово (и входящие в состав названия собственные имена). Полагаем, что написание Великая Китайская стена можно объяснить сложившейся традицией употребления.
Общее правило: в названиях исторических государств с прописной буквы пишется первое слово названия, соединенные дефисом части слова и собственные имена. Родовые термины пишутся преимущественно со строчной буквы. Академический орфографический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: Владимиро-Волынское княжество, Владимиро-Суздальское княжество, Галицкое княжество, Северское княжество и др.
В названиях обозначаемых порядковым номером съездов, конгрессов, конференций, сессий, фестивалей, конкурсов слова Международный, Всемирный, Всероссийский и т. п. пишутся с прописной буквы независимо от того, обозначается ли стоящий в начале названия порядковый номер цифрой или словом. Правильно: Седьмая Международная конференция, VII Международная конференция... (в начале официального названия мероприятия). Ср. (не в составе официального названия): это была уже седьмая международная конференция, и в ней приняли участие...
Правильно написание строчными. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Ср.: Курская область, Курский государственный драматический театр имени А. С. Пушкина, но курская поэтесса, курские улицы.
Правильно: Проектируемый проезд № 123. Такие наименования подчиняются правилу: в названиях улично-дорожной сети населенных пунктов и транспортной инфраструктуры с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых наименований, служебных слов внутри названия и слов имени, км, года, лет.
Орфографически правильно в текстах общего назначения: «От государя к преподобному». В церковно-религиозных текстах, где словам государь и преподобный приписывается особый высокий смысл, распространено написание их с прописной.
Сочетание танковые войска пишется строчными.
В церковно-религиозных текстах Синодальный перевод обычно пишется с прописной. Вне такого употребления, в текстах общего назначения, корректно написание строчными.
Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии государства. Ср.: он занимал пост министра финансов и экономики страны.
