Форма управления «доказать о том» является устаревшей, оценивается как просторечная и не соответствует современным нормам русского языка. Хотя на протяжении XIХ — первой трети ХХ века она была распространена: Признаюсь, у меня было сильное желание, чтобы кто-нибудь из сыновей был легко ранен; это бы вернуло его к нам и заодно доказало о добросовестной службе в строю [К. К. Романов. Дневники. Воспоминания. Стихи. Письма (1914)].
Правильно: класть, положить.
Подлежащее (формально) - костер.
Верно: Подкладывать дрова в костер.
Правильно: горшочные растения (но горшечный мастер).
Правило простое. Правильно: класть, кладу и положить, положу.
Корректно: (кому) обучающейся в 10-м классе или учащейся 10-го класса.
В словарях есть только кострИще - место, где был костер.