Если это все предложение, то по основному правилу тире не требуется. Возможна постановка интонационного тире.
Верно: Вспомнить три года учебы, проведенные вместе.
Два сына не разговорный, а стилистически нейтральный вариант. Он не является ошибочным.
Если имеется в виду вода, которой дали отстояться, верно: отстоянная вода.
В предложении Летом мы ремонтировали крышу дома слово дома является дополнением. Кто-то, видимо, ошибочно решил, что существительное не может управлять дополнением, а зависимое сущ. при нем всегда является несогласованным определением. На самом деле существительные вполне могут управлять дополнениями; в частности, в данном случае главное слово — крыша — обозначает часть целого, и при таких сущ. регулярно использование в качестве дополнения слова, обозначающего то целое, часть которого названа. Вот, скажем, в словосочетании ограда Летнего сада зависимый компонент действительно является несогласованным определением.
Да, запятую надо поставить. Противительный союз, после которого или перед которым находятся два соединенных союзом и простых предложения, не является объединяющим элементом, поэтому запятая перед и ставится.
