Корректно только обжаловать (где?) в суде, направить жалобу (куда?) в суд.
См. также 306583
См. также 250847
См. также 243532
См. также 242560
См. также 238154
См. также 200738
Корректен второй вариант.
И все же литературная норма: обжаловать в суде.
Корректно: представить на суд строгого жюри.
Специально никто не "допускает" аббревиатуры. Есть общепринятые сокращения, есть индивидуальные. Главное, чтобы сокращение было понятно читателю.