См. ответ 201811.
См. ответ на вопрос № 281220.
Обе формы родительного падежа имеют право на существование в подобных конструкциях.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Приведенные Вами выражения могут встречаться в разговорной речи, но неуместны за ее пределами. Есть употребительное выражение пустой чай. Приведем пример: Ничто не предвещало бедствия, когда, заночевав у Гали после небольшой попойки, я пил пустой чай у нее в комнате (Ю. М. Нагибин).
Нет, не является. См. значение существительного рутина:
РУТИНА, -ы; ж. [франц. routine]. 1. Консервативный, годами заведённый распорядок; косность. Бюрократическая р. Бороться с рутиной. В учреждении царит чудовищная р. 2. Однообразная, механически выполняемая работа. // О монотонном, однообразном существовании. Р. заела. Рутинный (см.).
Допустимо: выпить чая, выпить чаю, выпить (весь) чай. Вариант выпить чаю более употребим в разговорной речи.