Эти варианты фразы равноценны.
Верно без мягкого знака. Лучше не сокращать.
Оба варианта возможны.
Корректно: Треугольник является прямоугольным, если и только если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов; Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Таким документом является словарь личных имен, в котором зафиксированы соответствующие имена.