Верно написание строчными буквами.
Кавычки не нужны.
Запятая нужна.
Глаголы пойти, уйти, прийти, выйти являются самостоятельными словами, а не формами одного слова. Это однокоренные глаголы, производные от глагола идти (корень -ид-); в производных глаголах пойти, уйти, прийти, выйти корень производящего глагола представлен вариантом (алломорфом) -й-.
Верно: пойти на рынок.
Корректно раздельное написание: не учтенные на стеле братской могилы. Наличие зависимого слова свидетельствует о том, что перед нами не прилагательное (например, неучтенные расходы), а причастие (например, не учтенные в книге расходов суммы).
Правильно только пойти/поехать в бассейн. Употребление предлога в в пространственном значении связано с представлением об ограниченном пространстве, при отсутствии этого значения употребляется предлог на. Ср.: машины стояли во дворе (окруженное забором или домами пространство) – дети играли на дворе (вне дома; ср.: на дворе сегодня холодно).
См. окно «Искать на Грамоте». Этимологического словаря на портале нет.