Верно: операция (на чем?) на глазах, на позвоночнике, на желудке.
Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода – в зависимости от пола руководителя.
Правильно со строчной буквы.
Сочетание "слезы отуманили глаза" возможно.
Правильно: в сиянье.